Ecuaciones diferenciales y el interior del Sol

Ecuaciones diferenciales y el interior del Sol
(23/08/2017) - Por Manuela Zoccal Academica Universidad Católica
 
 
Gracias a cuatro ecuaciones diferenciales simples, podemos calcular las propiedades físicas del interior de todas las estrellas.
 
Hace unos días escuchaba por radio la entrevista a una amiga de la Facultad de Matemática, a quien le preguntaban qué son y para qué sirven las ecuaciones diferenciales que ella estudia. La pregunta no es fácil de abordar en pocas palabras –aunque ella lo hizo a la perfección–. Dada la importancia que esas ecuaciones tienen en astrofísica, y en física en general, pensé que el tema merecía un poco más de espacio.
 
Las ecuaciones diferenciales son ecuaciones en donde la incógnita (o la x) que uno quiere encontrar no es un número, sino la variación de una cantidad física, en relación a otra. Por ejemplo, en una ecuación normal la incógnita podría ser la temperatura de la superficie del Sol, es decir x=5770 grados Kelvin. En una ecuación diferencial, en cambio, la incógnita podría ser la variación de la temperatura en el interior del Sol, desde el centro hasta su superficie. En este ejemplo, la solución de la ecuación es: la temperatura del Sol aumenta, de forma muy aproximada, 20 grados Kelvin por cada kilómetro desde la superficie hacia el interior.
 
Por sí sola, la ecuación no dice cuánto vale la temperatura en ningún punto del Sol. Pero si conocemos por otra vía (por ejemplo, con observaciones) la temperatura de la superficie solar, podemos calcular la temperatura en todo el interior del Sol. Fijar la temperatura superficial es, en otras palabras, determinar las "condiciones de borde", lo que permite resolver completamente el problema. Se entiende, entonces, que una ecuación diferencial es potencialmente mucho más poderosa que una normal, dado que la primera no entrega el valor de la temperatura solamente en un punto, sino en todos los puntos del interior del Sol, en este ejemplo.
 

Las estrellas son enormes esferas de gas: 75% hidrógeno, 24% helio, y trazas de otros elementos más pesados. Con la única excepción del Sol, todas ellas nos aparecen como puntos luminosos, aún con los telescopios más poderosos. Sin embargo, y gracias a cuatro ecuaciones diferenciales, conocemos de ellas la temperatura, la presión, la luminosidad y la masa, en cada punto desde el centro hasta la superficie. Esto vale para todas las estrellas, desde las más masivas –de hasta 100 veces la masa del Sol– hasta las más chiquititas, de una décima de la masa del Sol. Las cuatro ecuaciones son las mismas, pero las propiedades físicas de las estrellas terminan siendo distintas porque las condiciones de borde que imponemos al resolverlas también lo son.
 
La primera ecuación nos dice cómo debe variar la presión del gas en el interior de la estrella para lograr sujetar las capas más externas. Las capas externas de la estrella, debido a la gravedad, se caerían hacia el centro de no existir cierta presión que se lo impide. A esta ecuación la llamamos de "equilibrio hidrostático", y relaciona la presión con la masa del gas. Otra ecuación expresa formalmente la conservación de la masa, relacionando masa y densidad en cada punto del interior de la estrella. La tercera expresa la conservación de la energía, relacionando la energía que una estrella produce en su interior, debido a la fusión nuclear, con la energía que sale de su superficie en forma de brillo. Finalmente, la ecuación de "equilibrio térmico" relaciona el flujo de energía, desde el centro hacia la superficie, con la temperatura en todo punto. Simplificando: la energía producida en el interior de la estrella, al fluir hacia la superficie calienta todo el gas que encuentra en su camino. 
 
Son ecuaciones súper simples, cortas y bonitas, y aún así tan poderosas que nos han permitido desarrollar modelos que describen el interior de las estrellas –las chicas y las enormes–, y entender como nacen, viven y mueren.